構造工学において、梁のたわみを評価するためには微分方程式の理解が必要です。ここでは、たわみの微分方程式の導出方法を詳しく解説します。
基本の曲げモーメント方程式
まず、基本的な概念として梁の曲げモーメント（M）を理解する必要があります。梁の任意の断面での曲げモーメントは、曲げ応力（σ）と断面形状（y・dA）によって決まります。曲げ応力は、梁の中心軸からの距離（y）に比例し、その比例定数を曲げモーメント（M）と表すことができます。これを数式に表すと以下のようになります：
ここで、σは曲げ応力、Mは曲げモーメント、yは中心軸からの距離、Iは断面二次モーメントです。
ひずみ-曲げモーメント関係
次に、梁のひずみ（ε）と曲げモーメントの関係を考えます。梁が曲げによってたわむと、中心軸からの距離（y）に比例してひずみが生じます。また、ひずみはたわみ（w）の微分（dw/dx）にも比例します。これを数式に表すと以下のようになります：
ここで、εはひずみ、wはたわみ、xは梁の長さ方向の座標です。
ヤングの定理を用いたたわみの微分方程式の導出
最後に、ヤングの定理（応力とひずみの比が一定である）を用いてたわみの微分方程式を導出します。ヤングの定理より、曲げ応力とひずみの比はヤング率（E）と等しくなります。したがって、以下の等式を得ます：
これと先ほどの2つの等式を組み合わせると、たわみの微分方程式を得ることができます。
この微分方程式は、梁のたわみの評価における重要な基礎となります。この方程式を解くことにより、荷重や境界条件に応じた梁のたわみを計算することができます。
材料力学 (JSMEテキストシリーズ)
材料力学を基礎から学びたい人むけの参考書。
練習問題を通して、材料力学の考え方を学べます。
JSMEは日本機械学会が
出版している本です。
どんな本がいいかわからない
という人は、最初に手に取ってみては
いかがでしょうか。
材料力学（JSMEテキストシリーズ）をAmazonで見てみる
材料力学 (機械系教科書シリーズ)
こちらも同じく材料力学を基礎から学びたい人むけの参考書。
大学の授業でも
教科書として使われています。
基礎から学ぶのには
便利な一冊です。
材料強度学 (機械系 教科書シリーズ)
こちらは材料科学です。
はりの曲げや降伏応力といった
工学的観点ではなく、
材料の性質について学べます。
たとえば、
分散強化や固溶強化の材料が
強度が高い理由や、転移やすべりなど、のメカニズムを
理解できます。
強度設計よりも、
なぜ、この材料が強いのか？や
どんな材料を作れば強度が上がるかを
理解するのに役立つ本です。
