断面二次モーメントの導出は、構造解析や設計において重要な要素です。断面二次モーメントは、構造物の強度や剛性を評価するための指標として使用されます。この記事では、断面二次モーメントの理論式と具体的な形状（矩形、円形、台形）に対する導出手順を詳しく解説します。途中計算も含め、各形状における断面二次モーメントの求め方を理解しましょう。
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① 理論式
断面二次モーメントの理論式は以下の通りです:
\[ I = \int (y^2) \, dA \]
ここで、yは断面内の点Pの中心軸からの距離を表し、dAは微小な面積要素を示します。積分は、断面の全ての微小な面積要素に対して行われます。
② 矩形の断面二次モーメントの導出
矩形の場合、断面二次モーメント（I）の導出手順は以下の通りです:
- 微小な面積要素の座標を(x, y)と設定します。
- 微小な面積要素の面積dAを計算します。矩形の場合、微小な面積要素の面積は定数であり、以下の式で表されます:
\[ dA = dx \cdot dy \]
- 各微小な面積要素に対して、\(y^2 \cdot dA\)を計算します。矩形の場合、yは定数であり、以下の式で表されます:
\[ y = \frac{h}{2} \]
- 計算された値を積分します:
\[ I = \int y^2 \cdot dA \]
- 積分を実行し、式を解くことで断面二次モーメントを求めます。
具体的な例
例として、幅（b）が4 cm、高さ（h）が6 cmの矩形の断面二次モーメントを導出してみましょう。
計算手順は以下の通りです:
- 微小な面積要素の座標を(x, y)と設定します。
- 微小な面積要素の面積dAを計算します:
\[ dA = dx \cdot dy = dx \cdot (y \, dy) \]
- \(y^2 \cdot dA\)を計算します:
\[ y^2 \cdot dA = \left(\frac{h}{2}\right)^2 \cdot (dx \cdot (y \, dy)) = \frac{h^2}{4} \cdot (dx \cdot dy) \]
- 積分を実行します:
\[ I = \int y^2 \cdot dA = \int \frac{h^2}{4} \cdot (dx \cdot dy) \]
- 積分を実行し、計算された値を代入します:
\[ I = \frac{h^2}{4} \int (dx \cdot dy) = \frac{h^2}{4} \cdot (b \cdot h) = \frac{b \cdot h^3}{12} \]
したがって、幅が4 cm、高さが6 cmの矩形の断面二次モーメントは\(\frac{4 \cdot 6^3}{12} = 144 \, \text{cm}^4\)となります。
③ 円形の断面二次モーメントの導出
円形の場合、断面二次モーメント（I）の導出手順は以下の通りです:
- 微小な面積要素の座標を(r, \theta)と極座標系で設定します。
- 微小な面積要素の面積dAを計算します。極座標系では、微小な面積要素の面積は定数であり、以下の式で表されます:
\[ dA = r \, dr \, d\theta \]
- 各微小な面積要素に対して、\(r^2 \cdot dA\)を計算します。円形の場合、\(r^2\)は定数であり、以下の式で表されます:
\[ r^2 = R^2 \]
- 計算された値を積分します:
\[ I = \int r^2 \cdot dA \]
- 積分を実行し、式を解くことで断面二次モーメントを求めます。
具体的な例
例として、半径（R）が8 cmの円形の断面二次モーメントを導出してみましょう。
計算手順は以下の通りです:
- 微小な面積要素の座標を(r, \theta)と極座標系で設定します。
- 微小な面積要素の面積dAを計算します:
\[ dA = r \, dr \, d\theta = (R \, dr) \, d\theta \]
- \(r^2 \cdot dA\)を計算します:
\[ r^2 \cdot dA = (R^2 \cdot dr) \, d\theta \]
- 積分を実行します:
\[ I = \int r^2 \cdot dA = \int (R^2 \cdot dr) \, d\theta \]
- 積分を実行し、計算された値を代入します:
\[ I = \int (R^2 \cdot dr) \, d\theta = \left(R^2 \cdot \int dr\right) \, \int d\theta = R^2 \cdot (r \, \Delta\theta) = R^2 \cdot (\theta_2 - \theta_1) \]
したがって、半径が8 cmの円形の断面二次モーメントは\(R^2 \cdot (\theta_2 - \theta_1)\)となります。
④ 台形の断面二次モーメントの導出
台形の場合、断面二次モーメント（I）の導出手順は以下の通りです:
- 微小な面積要素の座標を(x, y)と設定します。
- 微小な面積要素の面積dAを計算します。台形の場合、微小な面積要素の面積は定数であり、以下の式で表されます:
\[ dA = dx \cdot dy \]
- 各微小な面積要素に対して、\(y^2 \cdot dA\)を計算します。台形の場合、yはxに関数として表され、以下の式で表されます:
\[ y = \frac{h}{b} \cdot (x - a) \]
- 計算された値を積分します:
\[ I = \int y^2 \cdot dA \]
- 積分を実行し、式を解くことで断面二次モーメントを求めます。
具体的な例
例として、上底の長さ（a）が4 cm、下底の長さ（b）が8 cm、高さ（h）が6 cmの台形の断面二次モーメントを導出してみましょう。
計算手順は以下の通りです:
- 微小な面積要素の座標を(x, y)と設定します。
- 微小な面積要素の面積dAを計算します:
\[ dA = dx \cdot dy = dx \cdot \left(\frac{h}{b} \cdot (x - a)\right) \]
- \(y^2 \cdot dA\)を計算します:
\[ y^2 \cdot dA = \left(\frac{h}{b} \cdot (x - a)\right)^2 \cdot (dx \cdot \left(\frac{h}{b} \cdot (x - a)\right)) = \frac{h^2}{b^2} \cdot (x - a)^3 \cdot dx \]
- 積分を実行します:
\[ I = \int y^2 \cdot dA = \int \frac{h^2}{b^2} \cdot (x - a)^3 \cdot dx \]
- 積分を実行し、計算された値を代入します:
\[ I = \int \frac{h^2}{b^2} \cdot (x - a)^3 \cdot dx = \frac{h \cdot (a^3 + b^3 + a \cdot b^2 - a^2 \cdot b)}{12} \]
したがって、上底の長さが4 cm、下底の長さが8 cm、高さが6 cmの台形の断面二次モーメントは\(\frac{6 \cdot (4^3 + 8^3 + 4 \cdot 8^2 - 4^2 \cdot 8)}{12} = 840 \, \text{cm}^4\)となります。
まとめ
断面二次モーメント導出の、具体例を紹介しました。途中計算がよく理解できない方は参考にしてください。
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