【行列の基礎】逆行列とは

行列は数学や科学、工学の分野で広く使用される重要な概念です。逆行列はその中でも特に役立つ概念であり、線型方程式の解や変換行列の計算などに活用されます。本記事では、逆行列の基本的な理解、具体例、さらに計算問題を途中計算とともに解説してみましょう。

逆行列とは？

逆行列は、通常の行列の操作とは逆の操作を行うことができる行列のことです。行列 \(A\) の逆行列を \(A^{-1}\) と表記し、以下の式が成り立ちます。

ここで、\(I\) は単位行列を指します。逆行列は、正方行列である必要があり、かつその行列式がゼロでない場合に存在します。

具体例

以下に、\(2 \times 2\) の行列の逆行列の計算例を示します。

考える行列 \(A\):

まず、行列 \(A\) の行列式を計算します。

行列式がゼロでないため、逆行列が存在する可能性があります。逆行列は以下のように計算されます。

随伴行列 \(adj(A)\):

逆行列 \(A^{-1}\):

これにより、行列 \(A\) の逆行列が求められました。逆行列を行列 \(A\) と掛け合わせると、確かに単位行列になることがわかります。

計算問題と解説

ここで、読者の方に計算問題を提供します。以下の行列 \(B\) の逆行列を求めてみましょう。

行列 \(B\):

行列 \(B\) の行列式を計算します。

行列式がゼロでないため、逆行列が存在する可能性があります。逆行列は以下のように計算されます。

随伴行列 \(adj(B)\):

逆行列 \(B^{-1}\):

これにより、行列 \(B\) の逆行列が求められました。逆行列を行列 \(B\) と掛け合わせると、単位行列になることが確認できます。

3x3 行列の逆行列

3x3 の行列の逆行列も同様の原則で計算されます。ただし、計算が少し複雑になることがあります。以下に 3x3 行列の逆行列の計算手順を示します。

考える行列 C:

まず、行列 C の行列式を計算します。

行列式がゼロでないため、逆行列が存在する可能性があります。逆行列は以下のように計算されます。

随伴行列 \(adj(C)\):

逆行列 \(C^{-1}\):

これにより、行列 C の逆行列が求められました。逆行列を行列 C と掛け合わせると、確かに単位行列になることが確認できます。

3x3の行列 \(A\) の逆行列を求める手順を説明します。

手順

1. 行列式の計算:
   \[
   det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
   \]
   ここで、\(a, b, c, d, e, f, g, h, i\) は行列 \(A\) の要素です。行列式がゼロでないかどうかを確認します。
2. 余因子行列 \(C\) の計算:
   余因子行列 \(C\) は各要素の余因子を並べた行列です。
3. 随伴行列 \(adj(A)\) の計算:
   随伴行列 \(adj(A)\) は余因子行列 \(C\) を転置したものです。
4. 逆行列の計算:
   逆行列 \(A^{-1}\) は以下の式で求められます。
   \[
   A^{-1} = \frac{1}{det(A)} \cdot adj(A)
   \]
   これにより、各要素を \(det(A)\) で割った値を持つ行列が求められます。

以上の手順に従って、行列 \(A\) の逆行列を求めることができます。

まとめ

逆行列は行列の特別な性質であり、線型方程式の解を求めたり、変換行列を計算する際に重要な役割を果たします。逆行列が存在するかどうかは行列式の値に依存し、逆行列を計算する手順は随伴行列を使うことで行います。計算問題を通じて、逆行列の理解を深めてみましょう。

参考書

線形代数を勉強するおすすめの参考書を紹介します。

線形代数キャンパス・ゼミ　改訂10

基本のキの一冊。 改めて線形代数を学びたい人におすすめ。

単位が取れる線形代数ノート 改訂第2版

こちらも基本の一冊。図解を通して、線形代数の基礎が学べます。

演習と応用 線形代数 (新・演習数学ライブラリ) 

基礎だけじゃなくて演習問題を通して、理解を深めたい人への一冊。 数学の理解の早道は理解と実践。

実践を通して、線形代数への理解が深まる一冊。