技術系 材料力学

【演習】はりのたわみ

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 たわみとたわみ角の計算・求め方

梁のたわみとたわみ角を計算するためには、梁の断面形状、材料の弾性係数、荷重の種類と分布などを考慮する必要があります。それらをもとに、梁のたわみを表す微分方程式を立て、その方程式を解くことでたわみを計算することができます。

たわみを\(v(x)\)としたとき、梁のたわみを表す微分方程式は以下のようになります。

\[EI \cdot v''''(x) = q(x)\]

ここで、
\(EI\)は梁の曲げ剛性（\(E\)は材料のヤング係数、\(I\)は梁の断面二次モーメント）
\(v''''(x)\)はたわみ\(v(x)\)の4階の微分
\(q(x)\)は単位長さあたりの荷重

この微分方程式を解くと、たわみ\(v(x)\)が得られます。また、たわみ角\(\theta\)は\(v''(x)\)に等しいため、たわみの2階微分から求めることができます。

たわみの微分方程式の導出と解き方

梁のたわみの微分方程式は、梁の曲げモーメントとその変形に関する方程式から導出できます。

梁の曲げモーメント\(M\)は以下のように表されます。

\[M = EI \cdot v''(x)\]

ここで\(v''(x)\)はたわみ\(v(x)\)の2階の微分です。

一方、曲げモーメント\(M\)は荷重の分布\(q(x)\)に関連しています。特に、単位長さあたりの荷重\(q(x)\)の積分は曲げモーメントに等しいです。

これらを組み合わせると、たわみ\(v(x)\)を表す微分方程式を得ることができます。

\[EI \cdot v''''(x) = q(x)\]

これを解くには、4階の微分方程式の解法を適用します。具体的な解き方は荷重の分布\(q(x)\)や境界条件によります。

片持ち梁のたわみの微分方程式の具体的な数値計算

片持ち梁の例を考えます。片側が固定され、他側に集中荷重\(P = 1000 \, \text{N}\)がかかっているものとします。梁の長さを\(L = 2 \, \text{m}\)、ヤング係数を\(E = 200 \times 10^9 \, \text{Pa}\)、断面二次モーメントを\(I = 30 \times 10^{-6} \, \text{m}^4\)とします。このとき、梁のたわみ\(v(x)\)を表す微分方程式は以下のようになります。

\[\begin{aligned}
&EI \cdot v''''(x) = 0 \quad (0 \leq x \leq L)\\
&EI \cdot v''(0) = 0\\
&EI \cdot v'''(0) = 0\\
&v(L) = 0\\
&v'(L) = -\frac{P \cdot L}{EI}
\end{aligned}\]

これを解くと、たわみ\(v(x)\)とその微分\(v'(x)\)は以下のようになります。

\[\begin{aligned}
v(x) &= -\frac{P \cdot x^2 \cdot (3L - x)}{6EI}\\
v'(x) &= -\frac{P \cdot x \cdot (2L - x)}{2EI}
\end{aligned}\]

設定した数値を代入して求めると：

\[\begin{aligned}
v(x) &= -\frac{1000 \, \text{N} \cdot x^2 \cdot (6 \, \text{m} - x)}{6 \cdot 200 \times 10^9 \, \text{Pa} \cdot 30 \times 10^{-6} \, \text{m}^4} = -\frac{5x^3 - x^4}{36000}\\
v'(x) &= -\frac{1000 \, \text{N} \cdot x \cdot (4 \, \text{m} - x)}{2 \cdot 200 \times 10^9 \, \text{Pa} \cdot 30 \times 10^{-6} \, \text{m}^4} = -\frac{4x^2 - x^3}{12000}
\end{aligned}\]

このようにして、梁のたわみとたわみ角を計算することができます。

単純支持梁のたわみの微分方程式

単純支持梁の例を考えます。両端が単純支持で、梁に均一分布荷重\(q = 500 \, \text{N/m}\)がかかっているものとします。梁の長さを\(L = 3 \, \text{m}\)、ヤング係数を\(E = 200 \times 10^9 \, \text{Pa}\)、断面二次モーメントを\(I = 30 \times 10^{-6} \, \text{m}^4\)とします。このとき、梁のたわみ\(v(x)\)を表す微分方程式は以下のようになります。

\[EI \cdot v''''(x) = q \quad (0 \leq x \leq L)\]

そして境界条件は以下の通りです。

\[\begin{aligned}
&v(0) = v(L) = 0\\
&v''(0) = v''(L) = 0
\end{aligned}\]

これを解くと、たわみ\(v(x)\)は以下のようになります。

\[v(x) = \frac{q}{24EI} \cdot x \cdot (L^3 - 2Lx^2 + x^3)\]

設定した数値を代入して求めると：

\[v(x) = \frac{500 \, \text{N/m}}{24 \cdot 200 \times 10^9 \, \text{Pa} \cdot 30 \times 10^{-6} \, \text{m}^4} \cdot x \cdot ((3 \, \text{m})^3 - 2 \cdot 3 \, \text{m} \cdot x^2 + x^3) \\\\ =\frac{5x \cdot (27 - 6x^2 + x^3)}{36000}\]

このようにして、単純支持梁のたわみを計算することができます。

両端固定梁のたわみの微分方程式

両端固定梁の例を考えます。両端が固定で、梁の中央に集中荷重\(P = 1000 \, \text{N}\)がかかっているものとします。梁の長さを\(L = 3 \, \text{m}\)、ヤング係数を\(E = 200 \times 10^9 \, \text{Pa}\)、断面二次モーメントを\(I = 30 \times 10^{-6} \, \text{m}^4\)とします。このとき、梁のたわみ\(v(x)\)を表す微分方程式は以下のようになります。

\[EI \cdot v''''(x) = 0 \quad (0 \leq x \leq L)\]

そして境界条件は以下の通りです。

\[\begin{aligned}
&v(0) = v(L) = 0\\
&v''(0) = v''(L) = 0
\end{aligned}\]

これを解くと、たわみ\(v(x)\)は以下のようになります。

\[v(x) = \frac{P}{192EI} \cdot \left[3L^4 - 24L^2x^2 + 16x^4 \right] \quad (0 \leq x \leq L)\]

設定した数値を代入して求めると：

\[v(x) = \frac{1000 \, \text{N}}{192 \cdot 200 \times 10^9 \, \text{Pa} \cdot 30 \times 10^{-6} \, \text{m}^4} \cdot \left[3 \cdot (3 \, \text{m})^4 - 24 \cdot (3 \, \text{m})^2 \cdot x^2 + 16 \cdot x^4 \right] \\\\ =\frac{5 \cdot (81 - 18x^2 + 4x^4)}{57600}\]

このようにして、両端固定梁のたわみを計算することができます。

 

 

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  • この記事を書いた人

だるまる

製造業のものづくりエンジニア｜計算力学技術者固体1・2級｜CAEと材料力学を武器に製品開発を実施｜自分の中でのCAEの使い方・勘所を書きます

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